Efektywne wzory na systemy wyznacznikowe w przestrzeniach lokalnie wypukłych

Grażyna Ciecierska

Abstract

rozprawie przedstawiona została teoria systemów wyznacznikowych w przestrzeniach lokalnie wypukłych. Stanowi ona uogólnienie klasycznej teorii systemów wyznacznikowych w przestrzeniach Banacha. Teoria sformułowana została w języku funkcjonałów wielolinowiych i umożliwia rozwiązywanie równań liniowych Fredholma w przestrzeniach lokalnie wypukłych. W części algebraicznej rozpatrywane są własności systemów wyznacznikowych dla operatorów Fredholma, traktowanych jedynie jako homomorfizny przestrzeni liniowych. Ważnym wynikiem tej części jest twierdzenie podające konstrukcję systemu wyznacznikowego dla złożenia operatorów Fredholma na podstawie danych systemów wyznacznikowych dla składanych operatorów. Dla potrzeb wspomnianego twierdzenia udowodnione zostały odpowiednie lematy: lemat podający zależność wiążącą jądra (sprzężeń) składanych operatorów Fredholma z jądrem (sprzężenia) złożenia tych operatorów, lemat podający konstrukcję uogólnionej odwrotności złożenia dwóch operatorów Fredholma oraz lemat ustalający zależność między dwiema uogólnionymi odwrotnościami danego operatora. Kolejnym wynikiem jest opracowanie teorii algebraicznych nukleusów. Pojęcie algebraicznego nukelusa jest uogólnieniem pojęcia macierzy kwadratowej, traktowanej jako funkcjonał liniowy zmiennej operatorowej. Algebraiczny nukleus wyznacza operator nuklearny. Zdefiniowane zostały złożenia algebraicznych nukleusów, które w przypadku nukleusów wyznaczających endomorfizmy nuklearne, mają charakter multiplikatywny. Badanie własności wspomnianych złożeń prowadzi do wniosku, iż podobnie jak macierze kwadratowe określonego stopnia, tak również ich uogólnienia - algebraiczne nukleusy - tworzą algebrę. Najważniejszy wynik części algebraicznej stanowią algebraiczne wzory Plemelja, będące uogólnieniem wzorów Sikorskiego i Buraczewskiego, uzyskanym dla endomorfizmów Fredholma. Część topologiczna rozprawy sformułowana została w terminach kategorii par sprzężonych przestrzeni lokalnie wypukłych. Obiektami kategorii są pary (X*, X), gdzie X jest przestrzenią Frecheta (tj. metryzowalną i zupełną przestrzenią lokalnie wypukłą), X* - mocną przestrzenią sprzężoną z X; morfizmami są operatory ciągłe. Najważniejszym wynikiem rozprawy, stanowiącym realizację głównego celu badawczego, są efektywne wzory na systemy wyznacznikowe dla ciągłych operatorów postaci A + T, należących do przestrzeni op(Y*) \2192 X*, X \2192 Y), gdzie A jest operatorem Fredholma, zaś T operatorem nuklearnym, wyznaczanym przez ciągły algebraiczny nukleus F \2208 cn(Y*) \2192 X*, X \2192 Y). Przykład ilustrujący zastosowania wyników uzyskanych w części topologicznej rozprawy dotyczy pary (s0, s) sprzężonych przestrzeni lokalnie wypukłych. Ilustracją algebraicznych zastosowań teorii systemów wyznacznikowych jest konstrukcja odwrotności Moore?a - Penrose?a dowolnej macierzy rzeczywistej.
Diploma typeDoctor of Philosophy
Author Grażyna Ciecierska (FMIS)
Grażyna Ciecierska,,
- Faculty of Mathematics and Information Science
Title in PolishEfektywne wzory na systemy wyznacznikowe w przestrzeniach lokalnie wypukłych
Languagepl polski
Certifying UnitFaculty of Mathematics and Information Science (FMIS)
Disciplinemathematics / (mathematics domain) / (physical sciences)
Defense Date20-06-2001
Supervisor Adam Buraczewski (FMIS)
Adam Buraczewski,,
- Faculty of Mathematics and Information Science

Pages76
Keywords in Polishprzestrzenie banacha, wyznaczniki, algebra
Abstract in Polishrozprawie przedstawiona została teoria systemów wyznacznikowych w przestrzeniach lokalnie wypukłych. Stanowi ona uogólnienie klasycznej teorii systemów wyznacznikowych w przestrzeniach Banacha. Teoria sformułowana została w języku funkcjonałów wielolinowiych i umożliwia rozwiązywanie równań liniowych Fredholma w przestrzeniach lokalnie wypukłych. W części algebraicznej rozpatrywane są własności systemów wyznacznikowych dla operatorów Fredholma, traktowanych jedynie jako homomorfizny przestrzeni liniowych. Ważnym wynikiem tej części jest twierdzenie podające konstrukcję systemu wyznacznikowego dla złożenia operatorów Fredholma na podstawie danych systemów wyznacznikowych dla składanych operatorów. Dla potrzeb wspomnianego twierdzenia udowodnione zostały odpowiednie lematy: lemat podający zależność wiążącą jądra (sprzężeń) składanych operatorów Fredholma z jądrem (sprzężenia) złożenia tych operatorów, lemat podający konstrukcję uogólnionej odwrotności złożenia dwóch operatorów Fredholma oraz lemat ustalający zależność między dwiema uogólnionymi odwrotnościami danego operatora. Kolejnym wynikiem jest opracowanie teorii algebraicznych nukleusów. Pojęcie algebraicznego nukelusa jest uogólnieniem pojęcia macierzy kwadratowej, traktowanej jako funkcjonał liniowy zmiennej operatorowej. Algebraiczny nukleus wyznacza operator nuklearny. Zdefiniowane zostały złożenia algebraicznych nukleusów, które w przypadku nukleusów wyznaczających endomorfizmy nuklearne, mają charakter multiplikatywny. Badanie własności wspomnianych złożeń prowadzi do wniosku, iż podobnie jak macierze kwadratowe określonego stopnia, tak również ich uogólnienia - algebraiczne nukleusy - tworzą algebrę. Najważniejszy wynik części algebraicznej stanowią algebraiczne wzory Plemelja, będące uogólnieniem wzorów Sikorskiego i Buraczewskiego, uzyskanym dla endomorfizmów Fredholma. Część topologiczna rozprawy sformułowana została w terminach kategorii par sprzężonych przestrzeni lokalnie wypukłych. Obiektami kategorii są pary (X*, X), gdzie X jest przestrzenią Frecheta (tj. metryzowalną i zupełną przestrzenią lokalnie wypukłą), X* - mocną przestrzenią sprzężoną z X; morfizmami są operatory ciągłe. Najważniejszym wynikiem rozprawy, stanowiącym realizację głównego celu badawczego, są efektywne wzory na systemy wyznacznikowe dla ciągłych operatorów postaci A + T, należących do przestrzeni op(Y*) \2192 X*, X \2192 Y), gdzie A jest operatorem Fredholma, zaś T operatorem nuklearnym, wyznaczanym przez ciągły algebraiczny nukleus F \2208 cn(Y*) \2192 X*, X \2192 Y). Przykład ilustrujący zastosowania wyników uzyskanych w części topologicznej rozprawy dotyczy pary (s0, s) sprzężonych przestrzeni lokalnie wypukłych. Ilustracją algebraicznych zastosowań teorii systemów wyznacznikowych jest konstrukcja odwrotności Moore?a - Penrose?a dowolnej macierzy rzeczywistej.
Thesis file
Ciecierska_Grazyna_efektywne.pdf 4.02 MB
Citation count*4 (2015-07-23)

Get link to the record

Back
Confirmation
Are you sure?