Knowledge base: Warsaw University of Technology

Settings and your account

Back

Orbit perturbations in Kepler's Problem

Katarzyna Zdon

Abstract

The thesis concerns the area of Mechanics - the science about forces and movement of physical bodies. The thesis outlines the description of movements of planets in the Solar system with special emphasis on perturbations of orbits in the classical problem of Kepler. The approach is based on a mathematical description of the movement by ordinary differential equations. I use algebraic methods, but also present numerical simulations of selected problems using the R programming environment. In the first chapter, based on the available literature, I consider Kepler's problem with related ideas and concepts. I present definitions of the vector of position, velocity, acceleration and derivative of the vector. I introduce Newton's second law of motion and the resulting properties of motion in the gravitational field. In a formal way, I show thata physical body under the influence of gravity moves in a plane which contains the central body, with the segment joining them sweeping equal areas in equal times. I formulate the principle of conservation of angular momentum and show that the gravitational field is a conservative field, in which the total energy is constant. I consider the geometry of the component forces in the three-dimensional Cartesian system as well as the distribution of velocity and acceleration vectors in the radial and transversal direction. In the same chapter, I also show how to derive the equation for the trajectory of a body moving in a central force field (the classic Kepler problem) with a discussion of constants of integration and the relation to energy. In addition, I consider numerical integration of equations of motion using Euler's method. I also generalize Kepler's problem to the problem of the motion of two bodies, following the derivation used by Stefan Banach - a representative of the Lvov school of mathematics. In the next chapter, based on the literature, I introduce the problem of the circular restricted three-body problem. I present the general problem of motion equations in a system which rotates at constant speed. Next, I show the derivation of a certain first integral (Jacobi integral). The last chapter describes a specific, uncomplicated case of the three body motion, where we are dealing with the system referred to in the literature as a 'syzygy'. In that system we consider three bodies in a co-linear configuration, centrally symmetric about the central body. After stating the problem, I arrive at exact differential equations for the perturbed motion as well as the linearized equation with respect to the small mass of the orbiting bodies, checking the consistency of both approaches. This part of the thesis is the result of my own research.
Diploma type
Engineer's / Bachelor of Science
Diploma type
Bachelor thesis
Author
Katarzyna Zdon (FMIS) Katarzyna Zdon,, Faculty of Mathematics and Information Science (FMIS)
Title in Polish
Zaburzenia orbit w zagadnieniu Keplera
Supervisor
Grzegorz Świątek (FMIS/DFE) Grzegorz Świątek,, Department of Functional Equations (FMIS/DFE)Faculty of Mathematics and Information Science (FMIS)
Certifying unit
Faculty of Mathematics and Information Science (FMIS)
Affiliation unit
Department of Functional Equations (FMIS/DFE)
Study subject / specialization
, Matematyka
Language
(pl) Polish
Status
Finished
Defense Date
21-09-2016
Issue date (year)
2016
Reviewers
Przemysław Górka (FMIS/DPDE) Przemysław Górka,, Department of Partial Differential Equations (FMIS/DPDE)Faculty of Mathematics and Information Science (FMIS) Grzegorz Świątek (FMIS/DFE) Grzegorz Świątek,, Department of Functional Equations (FMIS/DFE)Faculty of Mathematics and Information Science (FMIS)
Keywords in Polish
równania różniczkowe zwyczajne, prawa dynamiki Newtona, prawa Keplera, problem Keplera, zagadnienie dwóch ciał, linearyzacja, równanie na wariację, równania ruchu, ograniczone zagadnienie trzech ciał
Keywords in English
ordinary differential equations, Newton's laws, Kepler's laws, Kepler's problem, two-body problem, linearized, variation equation, motion equations, limited three-body problem
Abstract in Polish
Praca dotyczy obszaru Mechaniki, czyli nauki zajmującej się szeroko pojętym ruchem ciał. W ograniczonym stopniu nakreśla problem zagadnienia ruchu planet w Układzie Słonecznym ze szczególnym uwzględnieniem zaburzeń orbit w zagadnieniu Keplera. W rozważaniach przedstawiam matematyczny opis ruchu poprzez równania różniczkowe zwyczajne. Stosuję metody algebraiczne, ale także przedstawiam numeryczne symulacje wybranych problemów wykorzystując środowisko R. W pierwszym rozdziale rozważam w oparciu o dostępną literaturę klasyczny Problem Keplera oraz związane z nim zagadnienia i pojęcia. Definiuję między innymi wektor położenia, prędkości, przyspieszenia oraz pochodną wektorową. Przedstawiam drugą zasadę dynamiki Newtona i wynikające z niej własności ruchu w polu grawitacyjnym. Między innymi w sposób formalny pokazuję, że ciała pod wpływem siły grawitacji poruszają się w płaszczyźnie, w której leży ciało centralne, zakreślając jednakowe obszary w jednakowym czasie. Wyprowadzam zasadę zachowania momentu pędu oraz pokazuję, że pole grawitacyjne jest polem zachowawczym, w którym suma energii jest stała. Rozważam geometrię składowych sił w trójwymiarowym układzie kartezjańskim oraz rozkład wektorów prędkości i przyspieszenia w kierunku radialnym i transwersalnym. W tym samym rozdziale pokazuję wyprowadzenie równania toru ruchu dla ciała poruszającego się w centralnym polu sił (klasyczne zagadnienie Keplera) wraz z wyprowadzeniem postaci stałych całkowania oraz związkiem z energią. Dodatkowo zajmuję się numerycznym sposobem całkowania równań ruchu metodą Eulera. Uogólniam również zagadnienie Keplera na przypadek ruchu dwóch ciał, wzorując się na wyprowadzeniu stosowanym przez Stefana Banacha - przedstawiciela lwowskiej szkoły matematycznej. W kolejnym rozdziale nakreślam w oparciu o literaturę problem kołowego ograniczonego zagadnienia trzech ciał. Wyprowadzam dla ogólnego problemu równania ruchu w rotującym ze stałą prędkością układzie, a następnie pokazuję wyprowadzenie przykładu całki pierwszej (całka Jakobiego). Ostatni rozdział poświęcony jest konkretnemu, nieskomplikowanemu przypadkowi ruchu trzech ciał, gdzie mamy do czynienia z układem określanym w literaturze jako syzygium. Pojawiają się w nim trzy ciała we współliniowej konfiguracji, symetrycznej względem centralnego ciała. Po zdefiniowaniu problemu wyprowadzam dla niego dokładne równania różniczkowe zaburzonego ruchu jak również linearyzowane równanie z uwzględnieniem małej masy ciał na orbicie. Porównuję oba podejścia. Ta część pracy jest rezultatem moich własnych badań.
File
  • File: 1
    praca_lic_KatarzynaZdon.pdf
Request a WCAG compliant version
Local fields
Identyfikator pracy APD: 1226

Uniform Resource Identifier
https://repo.pw.edu.pl/info/bachelor/WUTcf364083ad9e490d8a2350e5800363ef/
URN
urn:pw-repo:WUTcf364083ad9e490d8a2350e5800363ef

Confirmation
Are you sure?
Report incorrect data on this page