Knowledge base: Warsaw University of Technology

Settings and your account

Back

The Lattice of non-crossing partitions and the symmetric grop

Jakub Zbrzezny

Abstract

This work is based on the article [1] which shows the strict connections between symmetric group and the lattice of non-crossing partitions. In the first section we define the lattice of non-crossing partitions of a finite set and we give its graphical representation. In the next section we consider a partial order on the set of all non-crossing partitions which is called reversed refinement order. We prove that this defined relation is a partial order on set of non-crossing partitions. Then we show that this order makes the lattice structure of $NC(n)$. In the third section we define the anti-isomorphism of the lattice $NC(n)$, called Kreweras complement. In the fourth section we remind the definition of Cayley graph of group. We define the geodesic. We show different automorphisms of these graphs. In the next section we consider the specific case of group, namely the group of permutations. Referring to basic facts from algebra, we check how far is a permutation $p \in S_n$ from the identity permutation. The sixth section contains one of the main results presented in this work. We introduce an anti-isomorphism between $NC(n)$ and $S_n$. We show some map from lattice of non-crossing partitions $NC(n)$ to symmetric group $S_n$. We prove that it is an anti-izomorphism of these posets. In the last section we define automorphisms of poset. They are automorphisms preserving or reversing the order. We give four types of these maps and we show that there are no other maps.
Diploma type
Engineer's / Bachelor of Science
Diploma type
Bachelor thesis
Author
Jakub Zbrzezny (FMIS) Jakub Zbrzezny,, Faculty of Mathematics and Information Science (FMIS)
Title in Polish
Krata nieprzecinających partycji i grupa symetryczna
Supervisor
Kamil Szpojankowski (FMIS/DPMS) Kamil Szpojankowski,, Department of Probability and Mathematical Statistics (FMIS/DPMS)Faculty of Mathematics and Information Science (FMIS)
Certifying unit
Faculty of Mathematics and Information Science (FMIS)
Affiliation unit
Department of Probability and Mathematical Statistics (FMIS/DPMS)
Study subject / specialization
, Matematyka
Language
(pl) Polish
Status
Finished
Defense Date
04-07-2019
Issue date (year)
2019
Reviewers
Paweł Naroski (FMIS/DAC) Paweł Naroski,, Department of Algebra and Combinatorics (FMIS/DAC)Faculty of Mathematics and Information Science (FMIS) Kamil Szpojankowski (FMIS/DPMS) Kamil Szpojankowski,, Department of Probability and Mathematical Statistics (FMIS/DPMS)Faculty of Mathematics and Information Science (FMIS)
Keywords in Polish
partycja, porządek odwrotnego rozdrobnienia, dopełnienie Krewerasa, krzywa geodezyjna, graf Cayley'a, permutacja, automorfizm skośny
Keywords in English
partition, reversed refinement order, Kreweras complement, geodesic, Cayley graph, permutation, skew-automorphism
Abstract in Polish
Niniejsza praca oparta jest na artykule [1], która przedstawia ścisłe związki pomiędzy grupą symetryczną a kratą nieprzecinających partycji. W pierwszym rozdziale zdefiniujemy kratę nieprzecinających partycji zbioru skończonego oraz podamy jej graficzną interpretację. W następnym rozdziale wprowadzimy na zbiorze wszystkich partycji tzw. porządek odwrotnego rozdrobnienia. Udowodnimy, że zdefiniowana przez nas relacja jest częściowym porządkiem na zbiorze nieprzecinających się partycji. Później pokażemy, że porządek ten daje strukturę kraty $NC(n)$. W trzecim rozdziale zdefiniujemy anty-izomorfizm kraty $NC(n)$ zwany dopełnieniem Krewerasa. W czwartym rozdziale przypomnimy definicję grafu Cayley'a grupy. Wprowadzimy pojęcie krzywej geodezyjnej. Przedstawimy różne automorfizmy takich grafów. W następnym rozdziale rozważymy konkretny przypadek grupy, a właściwie grupę permutacji. Odwołując się do prostych faktów z algebry, sprawdzimy, jak odległa jest permutacja $p \in S_n$ do permutacji identycznościowej. Rozdział szósty zawiera jeden z głównych wyników przedstawionych w pracy, mianowicie zanurzenie kraty nieprzecinających partycji w grupę symetryczną. Przedstawimy pewne przekształcenie przeprowadzające kratę nieprzecinających partycji $NC(n)$ na grupę symetryczną $S_n$. Udowodnimy, że jest anty-izomorfizmem danych posetów. W ostatnim rozdziale wprowadzimy tzw. automorfizmy posetu. Są to automorfizmy zachowujące lub odwracające porządek. Podamy cztery rodzaje takich przekształceń i wykażemy, że innych nie ma.
File
  • File: 1
    Praca-licencjacka-Jakub-Zbrzezny-ostateczna-wersja_1.pdf
Request a WCAG compliant version
Local fields
Identyfikator pracy APD: 31648

Uniform Resource Identifier
https://repo.pw.edu.pl/info/bachelor/WUT2c7c3d2a94b84f658ac6fc758a9f768e/
URN
urn:pw-repo:WUT2c7c3d2a94b84f658ac6fc758a9f768e

Confirmation
Are you sure?
Report incorrect data on this page