# Knowledge base: Warsaw University of Technology

Back

## Ore's Theorem concerning lattice of subgroup of a group

### Sebastian Marek Florczuk

#### Abstract

In this essay I have shown the relationship between groups and lattices of the subgroups. O.Ore. In his theorem from 1938, shows that the lattice of subgroups of G is distributive if and only if the group is locally cyclic. The thesis consists of three chapters. The first two chapters present definitions, theorems and other informations about groups and lattices. In the third chapter I described the proof of the theorem of Ore’s about lattices subgroups of the groups. The first chapter contains several subsections relating to property groups. The first section describes basic definitions of the groups. One of the most important definition is the definition of Abelian groups. The next two section listed definitions of the subgroup and cyclic group and theorems related to them. Generating groups and the existence of subgroups of groups are the basic concepts needed to understand most of the lemmas and assertions contained in my essay. Another part of this chapter contains information on quotient groups, isomorphism groups and normal subgroups. With these definitions are closely related to the first and second isomorphism theorem, which have a big role in the theory of groups. The second chapter describes the definition of lattice in the sense of algebraic and partially order. In this section are presented the concepts of lattices: distributed, complete and sublattices of the lattice. The last chapter is closely linked to the theme of essay. It is shown in the full proof of the Ore’s theorem : " Lattice of subgroups of group is distributive if and only if it is locally cyclic". Chapter is divided into two sections. The first contains all lemmas with proof. There is also a proof of the first and second isomorphism theorems. Lemmas and theorems in the first subsections, we use in the proof of Ore’s theorem.
Diploma type
Engineer's / Bachelor of Science
Diploma type
Bachelor thesis
Author
Sebastian Marek Florczuk (FMIS) Sebastian Marek Florczuk,, Faculty of Mathematics and Information Science (FMIS)
Title in Polish
Twierdzenie Ore o kracie podgrup grupy
Supervisor
Grzegorz Bińczak (FMIS/DAC) Grzegorz Bińczak,, Department of Algebra and Combinatorics (FMIS/DAC)Faculty of Mathematics and Information Science (FMIS)
Certifying unit
Faculty of Mathematics and Information Science (FMIS)
Affiliation unit
Department of Algebra and Combinatorics (FMIS/DAC)
Study subject / specialization
, Matematyka
Language
(pl) Polish
Status
Finished
Defense Date
23-09-2016
Issue date (year)
2016
Reviewers
Grzegorz Bińczak (FMIS/DAC) Grzegorz Bińczak,, Department of Algebra and Combinatorics (FMIS/DAC)Faculty of Mathematics and Information Science (FMIS) Tomasz Brengos (FMIS/DAC) Tomasz Brengos,, Department of Algebra and Combinatorics (FMIS/DAC)Faculty of Mathematics and Information Science (FMIS)
Keywords in Polish
grupy, podgrupy, kraty, rozdzielność, cykliczność
Keywords in English
groups, subgroups, lattice, distributive, cyclic
Abstract in Polish
Celem mojej pracy było pokazanie zależności pomiędzy grupami a kratami ich podgrup, o której pisał O.Ore. W twierdzeniu z 1938 roku pokazuje on, że krata podgrup grupy G jest rozdzielna wtedy i tylko wtedy, gdy grupa jest lokalnie cykliczna. Praca składa się z trzech rozdziałów. W pierwszych dwóch rozdziałach podane są pojęcia związane z grupami oraz kratami. Trzeci rozdział oparty jest na dowodzie twierdzenia Orego o kracie podgrup grupy. Pierwszy rozdział podzielony jest na kilka podrozdziałów odnoszących się do własności grup. W pierwszym podrozdziale opisane są podstawowe definicje dotyczące grup. Jedną z ważniejszych definicji jest definicja grupy abelowej. W kolejnych dwóch zostały omówione pojęcia podgrupy i grupy cyklicznej oraz definicje i twierdzenia z nimi związane. Generowanie grupy oraz istnienie podgrup grupy są podstawowymi pojęciami potrzebnymi do zrozumienia większości lematów oraz twierdzeń zawartych w mojej pracy. Kolejna część tego rozdziału zawiera informację na temat grup ilorazowych, izomorfizmów grup oraz podgrup normalnych. Z ostatnimi pojęciami ściśle związane są pierwsze oraz drugie twierdzenie o izomorfizmie, które odgrywaja dużą rolę w teorii grup. W drugim rozdziale opisana jest definicja kraty w sensie algebraicznym oraz częściowego porządku. W tej części przedstawione są pojęcia krat: rozdzielnych, zupełnych oraz podkrat krat. Ostatni rozdział związany jest ściśle z tematem pracy. Pokazany jest w nim obszerny dowód twierdzenia Orego: „Krata podgrup grupy G jest rozdzielna wtedy i tylko wtedy, gdy G jest lokalnie cykliczna”. Rozdział podzielony jest na dwa podrozdziały. W pierwszym znajdują się wszystkie lematy wraz z dowodami. Znajdują się w nim także pierwsze oraz drugie twierdzenie o izomorfizmie wraz z dowodami. Lematów oraz twierdzeń z pierwszego podrozdziału używamy w części drugiej tego rozdziału, czyli w dowodzie naszego twierdzenia.
File
• File: 1
praca licencjacka Sebastian Florczuk.pdf
Request a WCAG compliant version
Local fields
Identyfikator pracy APD: 1172

Uniform Resource Identifier
https://repo.pw.edu.pl/info/bachelor/WUT0810f004726c43e2857afc09886cba1a/
URN
urn:pw-repo:WUT0810f004726c43e2857afc09886cba1a

Confirmation
Are you sure?