2-dimensional Polyhedra with Finite Depth

Danuta Kołodziejczyk

Abstract

In this paper every polyhedron is finite and every ANR is compact. Let P ≥ X1 ≥ X2 ≥ ..., be a sequence, in which P is a polyhedron and ≥ are homotopy dominations. One may ask, if each sequence of this form contains only finitely many homotopy dominations that are not homotopy equivalences, or if there exists an integer i(P) (independent of the sequence) that each sequence contains only ≤ i(P) homotopy dominations that are not homotopy equivalences. Closely related open questions are: Does there exist a polyhedron P homotopy dominating an infinite sequence of polyhedra {P_i} where P_i homotopy dominates P_{i+1}, but P_{i} and P_{i+1} have different homotopy types, for every i ∈ N? (M. Moron) [OpII, Problem 1436], and the famous problem of K. Borsuk (1967): Is it true that two ANRs, X and Y homotopy dominating each other have the same homotopy type? Here we prove that, if dimP = 2, then the answers to all these questions depend only on the properties of the fundamental group of P (for 1-dimensional polyhedra, the answers are obvious). Furthermore, if sequences contain only polyhedra, it suffices to study the analog of our topological question for finitely presented groups (the fundamental groups) with retractions. Applying those results, we prove that for each polyhedron P with dimP ≤ 2 and elementary amenable fundamental group G with cdG < ∞, there is a bound i(P) on the lengths of all descending sequences P ≥ X1 ≥ X2 ... of homotopy dominations that are not homotopy equivalences. The same holds if the fundamental group of P is a limit group. It means that such polyhedra P have finite depth.
Author Danuta Kołodziejczyk (FMIS / DDG)
Danuta Kołodziejczyk,,
- Department of Differential Geometry
Journal seriesTopology and Its Applications, ISSN 0166-8641, (A 20 pkt)
Issue year2018
Vol241
Pages50-61
Publication size in sheets0.55
Keywords in Polishwielościan, CW-kompleks, ANR, FANR, typ homotopii, homotopijna dominacja, kształt, głębokość, grupy elementarnie średniowalne, grupy wirtualnie rozwiązalne, limit grupy
Keywords in Englishpolyhedron, CW-complex, ANR, FANR, homotopy type, homotopy domination, shape, depth, elementary amenable group, virtually-solvable group, limit group
Abstract in PolishNiech P ≥ X1 ≥ X2 ≥ ..., będzie ciągiem, w którym P jest wielościanem (skończonym) a ≥ są homotopijnymi dominacjami. Można zapytać, czy każdy ciąg tego rodzaju zawiera tylko skończenie wiele homotopijnych dominacji, które nie są homotopijnymi równoważnościami lub, czy istnieje liczba naturalna i(P) (zależna tylko od wielościanu), że każdy taki ciąg zawiera tylko ≤ i(P) homotopijnych dominacji, które nie są homotopijnymi równoważnościami. Bardzo ściśle związane z tymi pytaniami są znane otwarte problemy: Czy istnieje wielościan P homotopijnie dominujący nad nieskończonym ciągiem wielościanów P_i, gdzie P_i homotopijnie dominuje nad P_i+1, ale P_i oraz P_i+1 mają różny typ homotopii dla każdego i ∈ N? (pytanie M. Morona opublikowane w [Open Problems in Topology II, Elsevier, 2007, Problem 1436]), oraz znany problem K. Borsuka opublikowany w jego monografii “Theory of Retracts” (1967): Czy dwa ANRy homotopijnie dominujące nad sobą nawzajem mają ten sam typ homotopii? (Każdy ANR ma typ homotopii skończonego wielościanu [J. West, Annals of Math. 1975]). Dowodzimy tu, że jeśli wielościan P ma wymiar 2, to odpowiedzi na wszystkie wspomniane pytania zależą tylko od jego grupy podstawowej (dla wielościanów 1-wymiarowych odpowiedzi są znane i pozytywne). Co więcej, jeśli ciągi zawierają tylko wielościany skończone, wystarczy badać odpowiedniki pytań topologicznych dla grupy podstawowej wielościanu P i jej retrakcji. Stosując te wyniki udowadniamy, że dla każdego wielościanu P wymiaru ≤ 2 o elementarnie średniowalnej grupie podstawowej G ze skończonym wymiarem kohomologicznym cdG < ∞, istnieje ograniczenie górne i(P) długości wszystkich ciągów P ≥ X1 ≥ X2 ... homotopijnych dominacji, które nie są homotopijnymi równoważnościami. Tak samo jest, gdy grupa podstawowa wielościanu P należy do klasy “limit grups” (są to pewne uogólnienia grup wolnych). Pierwsza z wspomnianych klas grup jest szersza niż klasa grup wirtualnie policyklicznych, dla których podobne rezultaty wynikały z wcześniejszych prac autorki. Oznacza to też, że rozważane klasy wielościanów mają skończoną głębokość (w homotopijnej i kształtowej kategorii).
DOIDOI:10.1016/j.topol.2018.02.016
URL https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864118301068
Languageen angielski
Score (nominal)20
ScoreMinisterial score = 20.0, 12-07-2018, ArticleFromJournal
Ministerial score (2013-2016) = 20.0, 12-07-2018, ArticleFromJournal
Publication indicators WoS Impact Factor: 2016 = 0.377 (2) - 2016=0.464 (5)
Citation count*
Cite
Share Share

Get link to the record


* presented citation count is obtained through Internet information analysis and it is close to the number calculated by the Publish or Perish system.
Back