Change of measure technique in characterizations of the gamma and Kummer distributions

Agnieszka Piliszek , Jacek Wesołowski

Abstract

If X and Y are independent random variables with distributions μ and ν then U=ψ(X, Y) and V=φ(X, Y) are also independent for some transformations ψ and φ. Properties of this type are known for many important probability distributions μ and ν. Also related characterization questions have been widely investigated. These are questions of the form: Let X and Y be independent and let U and V be also independent. Are the distributions of X and Y necessarily μ and ν, respectively? Recently two new properties and characterizations of this kind involving the Kummer distribution appeared in the literature. For independent X and Y with gamma and Kummer distributions Koudou and Vallois in observed that U=(1 +(X+Y)−1)/(1 +X−1) and V=X+Y are also independent, and Hamza and Vallois observed that U=Y/(1 +X) and V=X(1 +Y/(1 +X)) are independent. In [16] and [17] characterizations related to the first property were proved, while the characterizations in the second setting have been recently given in [29]. These results were not fully satisfactory since in both cases technical assumptions on smoothness properties of densities of X and Y were needed. In[31], the assumption of independence of U and V in the first setting was weakened to constancy of regressions of U and 1/U given V with no density assumptions. However, the additional assumption E (1/X)<∞ was introduced. In the present paper we provide a complete answer to the characterization question in both settings without any additional technical assumptions regarding smoothness or existence of moments. The approach is, first, via characterizations exploiting some conditions imposed on regressions of U given V, which are weaker than independence, but for which moment assumptions are necessary. Second, using a technique of change of measure we show that the moment assumptions can be avoided.
Author Agnieszka Piliszek (FMIS)
Agnieszka Piliszek,,
- Faculty of Mathematics and Information Science
, Jacek Wesołowski (FMIS / DPMS)
Jacek Wesołowski,,
- Department of Probability and Mathematical Statistics
Journal seriesJournal of Mathematical Analysis and Applications, ISSN 0022-247X, (A 35 pkt)
Issue year2018
Vol458
No2
Pages967-979
Publication size in sheets0.6
Keywords in Polishzmiana miary, własność Matsumoto-Yor, charakteryzacja rozkładów prawdopodobieństwa, rozkład Gamma, rozkład Kummera, stałość regresji
Keywords in EnglishChange of measure, Matsumoto–Yor property, Characterizations of probability distributions, Gamma distribution, Kummer distribution, Constancy of regression
Abstract in PolishJeśli $X$ i $Y$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach $ i $, to $U = f(X,Y)$ i $V = g(X, Y)$ są również niezależne dla pewnych przekształceń $f$ i $g$. Tego typu własności są znane dla wielu ważnych rozkładów. Związane jest z nimi pytanie o charakteryzację, tj.: jeśli $X$ i $Y$ są niezależne oraz $U$ i $V$ są niezależne, to czy koniecznie $Xsim i $Ysim? Ostatnio pojawiły się dwie nowe własności tego typu dotyczące rozkładu Kummera. Niech $X$ i $Y$ będą niezależne o rozkładach, odpowiednio, Kummera i gamma. Koudou i Vallois (2012) pokazali, że wówczas $U=(1+(X+Y)^-1)/(1+X^-1)$ i $V=X+Y$ są niezależne. Hamza i Vallois (2016) pokazali, że również $U = Y/(1+X)$ i $V= X(1+Y/(1+X))$ są niezależne. Charakteryzacje rozkładów związane z tymi własnościami zostały udowodnione, patrz Koudou& Vallois 2012, 2011 oraz Piliszek& Wesoł owski 2016, przy technicznych założeniach dotyczących istnienia i regularności gęstości. W 2017 Wesoł owski zastąpił założenie niezależności $U$ i $V$ (dla pierwszej z wymienionych własności), założeniem stałych momentów warunkowych $U$ i $U^-1$ pod warunkiem $V$ (bez żadnych założeń dotyczących gęstości). Jednak założył dodatkowo, że $mathbb E X^-1 <. W tej pracy dajemy odpowiedź na pytania o charakteryzację w obu przypadkach bez żadnych założeń technicznych dotyczących gęstości lub istnienia momentów. Podejście jest dwustopniowe: najpierw dowodzimy charakteryzacji przy pewnych warunkach na momenty warunkowe $U$ pod warunkiem $V$, które są słabsze niż niezależność. Ten krok wymaga jednak założeń momentowych. W drugim kroku omijamy założenia momentowe poprzez zmianę miary.
DOIDOI:10.1016/j.jmaa.2017.10.011
URL https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X17309095
Languageen angielski
Score (nominal)40
ScoreMinisterial score = 35.0, 12-07-2018, ArticleFromJournal
Ministerial score (2013-2016) = 40.0, 12-07-2018, ArticleFromJournal
Publication indicators WoS Impact Factor: 2016 = 1.064 (2) - 2016=1.151 (5)
Citation count*
Cite
Share Share

Get link to the record


* presented citation count is obtained through Internet information analysis and it is close to the number calculated by the Publish or Perish system.
Back