2-polyhedra for which every homotopy domination over itself is a homotopy equivalence

Danuta Kołodziejczyk

Abstract

We consider an open question: “Is it true that each homotopy domi\-nation of a polyhedron over itself is a homotopy equivalence?” The answer is known to be positive for 1-dimensional polyhedra and polyhedra with virtually-polycyclic fundamental groups, so it is natural to ask about 2-dimensional polyhedra, in particular about those with solvable fundamental groups. In this paper we prove that for each 2-dimensional polyhedron P with weakly Hopfian fundamental group, every homotopy domination of P over itself is a homotopy equivalence. A group is weakly Hopfian if it is not isomorphic to a proper retract of itself. Thus every Hopfian group is weakly Hopfian. One corollary to the main result is that for 2-dimensional polyhedra with elementary amenable (including virtually-solvable) fundamental groups of finite cohomological dimension, the answer to our question is positive (we show that every elementary amenable group with finite cohomological dimension is Hopfian). The problem in consideration is related in an obvious way to the famous question of K. Borsuk (1967): “Is it true that two compact ANR′s homotopy dominating each other have the same homotopy type?”
Author Danuta Kołodziejczyk ZGR
Danuta Kołodziejczyk,,
- Department of Differential Geometry
Journal seriesTopology and Its Applications, ISSN 0166-8641
Issue year2016
Vol207
Pages54-61
Publication size in sheets0.5
Keywords in EnglishPolyhedron, CW-complex, Homotopy domination, Homotopy type, Hopfian, Elementary amenable group, Knot group, Hyperbolic group, Wall obstruction, Projective module, Rank
Abstract in PolishDominacją w dowolnej kategorii C nazywa się morfizm f z X do Y (gdzie X,Y są obiektami C), dla którego istnieje morfizm g z Y do X w C taki, że fg = id. Wtedy mówimy, że X dominuje nad Y (lub Y jest dominowany przez X). W pracy rozważane było otwarte dotąd pytanie: “Czy dla każdego wielościanu P, każda homotopijna dominacja P nad sobą musi być homotopijną równoważnością?” Problem ten, zawarty od dawna na listach problemów otwartych np. [J. Dydak, A. Kadlof, S. Nowak, “Open Problems in Shape Theory”, mimeographed notes, University of Warsaw, 1981], jest bardzo ściśle związany z innym znanym, nierozstrzygniętym problemem Borsuka z monografii [K. Borsuk, “Theory of Retracts”, Polish Scientific Publishers, Warsaw, 1967]: “Czy dwa ANRy homotopijnie dominujące nad sobą nawzajem muszą być homotopijnie równoważne?” (z wyników J. Westa [Bull. Amer. Math. Soc. 1975], każdy ANR ma typ homotopii skończonego CW-kompleksu - wielościanu). Ponieważ odpowiedź na oba pytania jest znana i pozytywna dla wielościanów 1-wymiarowych oraz dla wielościanów z grupą podstawową wirtualnie-policykliczną, można zapytać, czy istnieją kontrprzykłady z grupą podstawową rozwiązalną, w szczególności w najniższym interesującym wymiarze 2. W pracy pokazane jest, że kontrprzykładem 2-wymiarowym na żadne z tych pytań nie może być żaden wielościan z grupą podstawową słabo Hopfa. (Grupa G jest słabo Hopfa, jeśli każdy jej r-homomorfizm, czyli odpowiednik retrakcji w kategorii grup, na podgrupę izomorficzną z nią samą jest izomorfizmem. Grupa G jest Hopfa, gdy dowolny jej epimomorfizm na siebie jest izomorfizmem). Dotychczas nie jest znana żadna grupa skończenie prezentowalna, która nie byłaby słabo Hopfa (grupy podstawowe wielościanów zawsze są skończenie prezentowalne). W pracy wykazane jest także, że wszystkie grupy wirtualnie-rozwiązalne (a nawet szerzej, elementarnie średniowalne) skończenie wymiarowe (tj. o skończonym wymiarze kohomologicznym) są słabo Hopfa. Zatem, żaden wielościan 2-wymiarowy z tego rodzaju grupą podstawową nie będzie kontrprzykładem na rozważane pytania. Główny wynik może być oczywiście zastosowany do szerokiej klasy wielościanów 2-wymiarowych o grupach podstawowych Hopfa (np. wszystkie grupy hiperboliczne bez torsji, skończenie generowane grupy liniowe, grupy węzłów i splotów, jak i bardzo wiele innych grup skończenie prezentowalnych, są grupami Hopfa).
DOIDOI:10.1016/j.topol.2016.04.007
URL http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864116300347
Languageen angielski
Score (nominal)20
ScoreMinisterial score = 20.0, 28-11-2017, ArticleFromJournal
Ministerial score (2013-2016) = 20.0, 28-11-2017, ArticleFromJournal
Publication indicators WoS Impact Factor: 2016 = 0.377 (2) - 2016=0.464 (5)
Citation count*0
Cite
Share Share



* presented citation count is obtained through Internet information analysis and it is close to the number calculated by the Publish or Perish system.
Back