Investigating the links of internal and external reliability with the system conditionality in Gauss-Markov models with uncorrelated observations

Witold Prószyński

Abstract

The relationship between internal response-based reliability and conditionality is investigated for Gauss-Markov (GM) models with uncorrelated observations. The models with design matrices of full rank and of incomplete rank are taken into consideration. The formulas based on the Singular Value Decomposition (SVD) of the design matrix are derived which clearly indicate that the investigated concepts are independent of each other. The methods are presented of constructing for a given design matrix the matrices equivalent with respect to internal response-based reliability as well as the matrices equivalent with respect to conditionality. To analyze conditionality of GM models, in general being inconsistent systems, a substitute for condition number commonly used in numerical linear algebra is developed, called a pseudo-condition^number. Also on the basis of the SVD a formula for external reliability is proposed, being the 2-norm of a vector of parameter distortions induced by minimal detectable error in a particular observation. For systems with equal nonzero singular values of the design matrix, the formula can be expressed in terms of the index of internal response-based reliability and the pseudo-condition^number. With these measures appearing in explicit form, the formula shows, although only for the above specifi c systems, the character of the impact of internal response-based reliability and conditionality of the model upon its external reliability. Proofs for complementary properties concerning the pseudo-condition^number and the 2-norm of parameter distortions in systems with minimal constraints are given in the Appendices. Numerical examples are provided to illustrate the theory.
Author Witold Prószyński (FGC / DEIS)
Witold Prószyński,,
- Department of Engineering and Industrial Surveying
Other language title versionsBadanie związków między niezawodnością wewnętrzną i zewnętrzną a uwarunkowaniem układu w modelach Gaussa-Markova z nieskorelowanymi obserwacjami
Journal seriesGeodesy and Cartography, ISSN 2080-6736
Issue year2013
Vol62
No2
Pages157-181
Publication size in sheets1.2
Keywords in Englishinternal reliability, external reliability, system conditionality, singular value decomposition, uncorrelated observations
Abstract in PolishBadany jest związek między niezawodnością wewnętrzną bazującą na odpowiedziach modelu a uwarunkowaniem układu dla modeli Gaussa-Markova z obserwacjami nieskorelowanymi. Rozpatrywane są przy tym modele z macierzami projektu pełnego i niepełnego rzędu. Wzory wyprowadzone przy użyciu rozkładu macierzy ze względu na wartości szczególne (SVD) wskazują wyraźnie, że te dwa badane pojęcia są wzajemnie niezależne. Przedstawione są metody konstruowania dla danej macierzy projektu macierzy równoważnych pod względem niezawodności wewnętrznej oraz macierzy równoważnych pod względem uwarunkowania. Aby umożliwić analizę uwarunkowania modeli GM stanowiących w ogólności układy sprzeczne, wyprowadzono pseudo-wskaźnik zastępujący wskaźnik uwarunkowania układu powszechnie stosowany w numerycznej algebrze liniowej. Także na podstawie rozkładu SVD zaproponowano wzór określający niezawodność zewnętrzną bazujący na 2-giej normie wektora zniekształceń parametrów indukowanych przez minimalny wykrywalny błąd w danej obserwacji. Dla układów z jednakowymi niezerowymi wartościami szczególnymi wzór ten może być wyrażony poprzez wskaźnik niezawodności wewnętrznej oraz pseudo-wskaźnik uwarunkowania. Z tymi miarami występującymi w postaci jawnej, wzór ukazuje, chociaż jedynie dla powyższych specyfi cznych układów, charakter wpływu niezawodności wewnętrznej i uwarunkowania modelu na jego niezawodność zewnętrzną. Dowody uzupełniających własności dotyczących pseudo-wskaźnika uwarunkowania oraz 2-giej normy wektora zniekształceń parametrów w układach z minimalnymi ograniczeniami, zamieszczone są w Dodatkach. Teoria ilustrowana jest na przykładach numerycznych. Brought
DOIDOI:10.2478/geocart-2013-0010
Internal identifier159/2013
Languageen angielski
File
2013_Prószyński_Investigating_the_links_159.pdf 820.28 KB
Additional file
2013_Oświadczenia_Prószyński_Investigating_159.pdf 673.73 KB
Score (nominal)13
ScoreMinisterial score = 8.0, 28-11-2017, ArticleFromJournal
Ministerial score (2013-2016) = 13.0, 28-11-2017, ArticleFromJournal
Citation count*
Cite
Share Share

Get link to the record


* presented citation count is obtained through Internet information analysis and it is close to the number calculated by the Publish or Perish system.
Back
Confirmation
Are you sure?