GRASSHOPPER AVOIDANCE OF PATTERNS

Michał Dębski , Urszula Pastwa , Krzysztof Węsek

Abstract

Motivated by a geometrical Thue-type problem, we introduce a new variant of the classical pattern avoidance in words, where jumping over a letter in the pattern occurrence is allowed. We say that pattern $pin E^+$ occurs with jumps in a word $w=a_1a_2ldots a_k in A^+$, if there exist a non-erasing morphism $f$ from $E^*$ to $A^*$ and a sequence $(i_1, i_2, ldots , i_l)$ satisfying $i_{j+1}in{ i_j+1, i_j+2 }$ for $j=1, 2, ldots, l-1$, such that $f(p) = a_{i_1}a_{i_2}ldots a_{i_l}.$ For example, a pattern $xx$ occurs with jumps in a word $abdcadbc$ (for $x mapsto abc$). A pattern $p$ is grasshopper $k$-avoidable if there exists an alphabet $A$ of $k$ elements, such that there exist arbitrarily long words over $A$ in which $p$ does not occur with jumps. The minimal such $k$ is the grasshopper avoidability index of $p$. It appears that this notion is related to two other problems: pattern avoidance on graphs and pattern-free colorings of the Euclidean plane. In particular, we show that a sequence avoiding a pattern $p$ with jumps can be a tool to construct a line $p$-free coloring of $mathbb{R}^2$. In our work, we determine the grasshopper avoidability index of patterns $alpha^n$ for all $n$ except $n=5$. We also show that every doubled pattern is grasshopper $(2^7+1)$-avoidable, every pattern on $k$ variables of length at least $2^k$ is grasshopper $37$-avoidable, and there exists a constant $c$ such that every pattern of length at least $c$ on $2$ variables is grasshopper $3$-avoidable (those results are proved using the entropy compression method). Moreover, we address several open questions, indicating possible directions for further research.
Author Michał Dębski ZAK
Michał Dębski,,
- Department of Algebra and Combinatorics
, Urszula Pastwa WMiNI
Urszula Pastwa,,
- Faculty of Mathematics and Information Science
, Krzysztof Węsek WMiNI
Krzysztof Węsek,,
- Faculty of Mathematics and Information Science
Journal seriesElectronic Journal of Combinatorics, ISSN 1077-8926
Issue year2016
Vol23
No4
Pages1-16
Publication size in sheets0.75
Keywords in EnglishThue sequence, Avoidable pattern, Entropy compression
Abstract in PolishJednym z ważnych zagadnień kombinatoryki na słowach jest zagadnienie unikalności wzorca na słowach. Wzorzec x jest unikalny, jeśli istnieje skończony alfabet i nieskończone słowo nad nim, takie że nie istnieje w tym słowie spójny fragment realizujący wzorzec (tj. możliwy do otrzymania z wzorca za pomocą podstawienia). W niniejszej pracy rozważamy to zagadnienie w nowym podejściu, w którym ułatwiamy realizację wzorca, a zatem utrudniamy unikanie: fragment realizujący wzorzec może „przeskakiwać” pojedyncze znaki pierwotnego słowa (tylko jeden z rzędu). Nazywamy to unikaniem wzorców ruchem konika polnego. Inspirację stanowił powiązany problem unikania wzorców w kolorowaniu płaszczyzny. Naturalnym jest pytanie o konikowy indeks unikalności, tj. najmniejszą liczbę symboli wystarczającą, by zbudować nieskończony ciąg unikający wzorca w tym sensie. W pracy zostały prawie w całości ustalone konikowe indeksy unikalności dla wzorców postaci x^k. Przy pomocy metody kompresji entropii uzyskane zostały wyniki dla szerszych klas wzorców, a dokładniej: wzorców, w których każda zmienna występuje co najmniej dwa razy, a także wzorców spełniających pewne warunki na długość wyrażone przy pomocy liczby zmiennych we wzorcu. Ponadto zaprezentowane zostały otwarte problemy oraz powiązania rozważanego problemu ze znanymi zagadnieniami w tej tematyce.
URL https://www.semanticscholar.org/paper/Grasshopper-Avoidance-of-Patterns-Debski-Pastwa/575864b36ace61cbb044f790763fa00e3b564e43
Languageen angielski
Score (nominal)25
ScoreMinisterial score = 25.0, 28-11-2017, ArticleFromJournal
Ministerial score (2013-2016) = 25.0, 28-11-2017, ArticleFromJournal
Publication indicators WoS Impact Factor: 2016 = 0.543 (2) - 2016=0.664 (5)
Citation count*0
Cite
Share Share



* presented citation count is obtained through Internet information analysis and it is close to the number calculated by the Publish or Perish system.
Back