Kummer and gamma laws through independences on trees - another parallel with the Matsumoto-Yor property

Agnieszka Piliszek , Jacek Wesołowski

Abstract

The paper develops a rather unexpected parallel to the multivariate Matsumoto–Yor (MY) property on trees considered in Massam and Wesołowski (2004). The parallel concerns a multivariate version of the Kummer distribution, which is generated by a tree. Given a tree of size p, we direct it by choosing a vertex, say r, as a root. With such a directed tree we associate a map Φ_r. For a random vector S having a p-variate tree-Kummer distribution and any root r, we prove that Φ_r(S) has independent components. Moreover, we show that if S is a random vector in (0,∞)^p and for any leaf r of the tree the components of Φ_r(S) are independent, then one of these components has a Gamma distribution and the remaining p−1 components have Kummer distributions. Our point of departure is a relatively simple independence property due to Hamza and Vallois (2016). It states that if X and Y are independent random variables having Kummer and Gamma distributions (with suitably related parameters) and T:(0,∞)^2→(0,∞)^2 is the involution defined by T(x,y)=(y/(1+x),x+xy/(1+x)), then the random vector T(X,Y) has also independent components with Kummer and gamma distributions. By a method inspired by a proof of a similar result for the MY property, we show that this independence property characterizes the gamma and Kummer laws.
Author Agnieszka Piliszek WMiNI
Agnieszka Piliszek,,
- Faculty of Mathematics and Information Science
, Jacek Wesołowski ZRPSM
Jacek Wesołowski,,
- Department of Probability and Mathematical Statistics
Journal seriesJournal of Multivariate Analysis, ISSN 0047-259X
Issue year2016
Vol152
Pages15-27
Publication size in sheets0.6
Keywords in EnglishKummer distribution, gamma distribution, independence property, directed trees, functional equations, characterization of probability measures
Abstract in PolishW pracy udowodniono charakteryzację rozkładów Kummera i gamma wykorzystującą pewną własność niezależności odkrytą ostatnio przez M. Hamzę i P. Vallois. Istotną częścią dowodu było rozwiązanie nowego równania funkcyjnego dla logarytmów gęstości badanych zmiennych. Własność niezależności uogólniono na sytuację wielowymiarową wykorzystując aparat drzew skierowanych do definicji odpowiednich przekształceń wyjściowego wektora losowego. Otrzymano też wielowymiarową wersję charakteryzacji przy założeniu niezależności składowych jedynie dla wektorów generowanych przez przekształcenia związane z drzewami skierowanymi, w których korzeń był w zbiorze liści. W tym celu rozwinięto metodologię analogiczną do teorii znanej dla tzw. własności Matsumoto-Yora.
DOIDOI:10.1016/j.jmva.2016.07.004
URL http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0047259X16300483
Languageen angielski
Score (nominal)25
ScoreMinisterial score = 25.0, 28-11-2017, ArticleFromJournal
Ministerial score (2013-2016) = 25.0, 28-11-2017, ArticleFromJournal
Publication indicators WoS Impact Factor: 2016 = 0.901 (2) - 2016=1.229 (5)
Citation count*0
Cite
Share Share

Get link to the record
msginfo.png


* presented citation count is obtained through Internet information analysis and it is close to the number calculated by the Publish or Perish system.
Back