Harmonic functions on metric measure spaces

Tomasz Adamowicz , Michał Gaczkowski , Przemysław Górka

Abstract

We introduce and study strongly and weakly harmonic functions on metric measure spaces defined via the mean value property holding for all and, respectively, for some radii of balls at every point of the underlying domain. Among properties of such functions we investigate various types of Harnack estimates on balls and compact sets, weak and strong maximum principles, comparison principles, the Hölder and the Lipschitz estimates and some differentiability properties. The latter one is based on the notion of a weak upper gradient. The Dirichlet problem for functions satisfying the mean value property is studied via the dynamical programming method related to stochastic games. Finally, we discuss and prove the Liouville type theorems. Our results are obtained for various types of measures: continuous with respect to a metric, doubling, uniform, measures satisfying the annular decay condition. Relations between such measures are presented as well. The presentation is illustrated by examples.
Author Tomasz Adamowicz - [Institute of Mathematics (IM PAN) [Polish Academy of Sciences (PAN)]]
Tomasz Adamowicz,,
-
- Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk
, Michał Gaczkowski (FMIS / DFE)
Michał Gaczkowski,,
- Department of Functional Equations
, Przemysław Górka (FMIS / DPDE)
Przemysław Górka,,
- Department of Partial Differential Equations
Journal seriesRevista Matematica Complutense, ISSN 1139-1138
Issue year2019
Vol32
No1
Pages141-186
Publication size in sheets2.25
Keywords in PolishZagadnienie Dirichleta, Miara podwajająca, Programowanie dynamiczne, Funkcje harmoniczne, Nierówność Harnack′a, Własność wartości średniej, Twierdzenie Liouville′a
Keywords in EnglishDirichlet problem, Doubling measure, Dynamical programming, Harmonic function, Harnack estimate, Hölder continuity, Liouville theorem, Lipschitz continuity, Mean value property, Measure, Metric analysis, Potential theory, Uniform measure, Weak upper gradient
ASJC Classification2600 General Mathematics
Abstract in PolishPraca jest kontynuuacją badań nad przestrzeniami funkcji posiadających własność wartości średniej. Ze względu na fakt, że własność ta jest równoważna harmoniczności funkcji (przy pewnych założeniach również dla jednego promienia) wykorzystaliśmy ją do zdefiniowania funkcji harmonicznych i słabo-harmonicznych na przestrzeniach metrycznych. W ramach naszych dociekań przebadaliśmy podstawowe własności takich funkcji w tym, Zasadę Maksimum i Nierówność Harnacka. Wykazaliśmy również, że w zależności od założeń na przestrzeń metryczną z miarą, funkcje harmoniczne mogą by hölderowsko, bądź lipschitzowsko regularne. Przedyskutowana została również kwestia rozwiązań zgadnienia typu Dirichleta, związana z istnieniem nietrywialnych rozwiązań. W szczególnych przypadkach udało się zastąpić funkcje słabo-harmoniczne funkcjami słabo-podharmonicznymi. Rozważyliśmy również podejście podobne do zastosowanego w pracach Luiro–Parviainen–Saksman czy Manfredi–Parviainen–Rossi. Użyto tam metod teorii gier (dla problemów typu “tug-of-war”) do analizy problemu związanego z p-Laplasjanem. Otrzymane wyniki nie tylko przybliżają do rozwiązania problemu z ciągłymi danymi brzegowymi, ale dają kolejną interpretację funkcji harmonicznych związaną z zagadnieniem błądzenia losowego. W ostatnim rodziale zamieszczone zostały przykłady funkcji harmonicznych oraz przestudiowane Twierdzenie Liouville′a.
DOIDOI:10.1007/s13163-018-0272-7
URL https://link.springer.com/article/10.1007/s13163-018-0272-7
Languageen angielski
Score (nominal)100
Score sourcejournalList
ScoreMinisterial score = 100.0, 16-06-2020, ArticleFromJournal
Publication indicators WoS Citations = 0; Scopus Citations = 4; Scopus SNIP (Source Normalised Impact per Paper): 2016 = 1.43; WoS Impact Factor: 2018 = 0.966 (2) - 2018=0.934 (5)
Citation count*
Cite
Share Share

Get link to the record


* presented citation count is obtained through Internet information analysis and it is close to the number calculated by the Publish or Perish system.
Back
Confirmation
Are you sure?